Question

5．已知函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
（1）若函数f（x）在区间（-1，0）上有最大值2，最小值-4，求函数f（x）在区间（0，1）上的最值；（直接写出结果，不需要证明）
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，试判断函数f（x）在区间（-1，0）上的单调性并加以证明；
（3）若当x∈（0，1）时，f（x）=x²-2x，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）f（x）为奇函数，图象便关于原点对称，从而根据f（x）在（-1，0）上的最值得出f（x）在（0，1）上的最值；
（2）根据奇函数在对称区间上的单调性一致便知f（x）在（-1，0）上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈（-1，0），且x₁＜x₂，从而有-x₁，-x₂∈（0，1），-x₁＞-x₂，这样根据f（x）在（0，1）上单调递增便可比较f（-x₁），f（-x₂），再根据f（x）为奇函数即可得出f（x₁）＜f（x₂），这样便可得出f（x）在（-1，0）上单调递增；
（3）可设x∈（-1，0），从而有-x∈（0，1），这样即可求出f（-x），从而得出f（x），而由f（x）在（-1，1）上为奇函数知f（0）=0，显然f（0）满足x∈（0，1）上的解析式，这样便可用分段函数写出f（x）的解析式．

解答 解：（1）f（x）在（0，1）上的最小值为-2，最大值为4；
（2）f（x）在（-1，0）上单调递增，证明如下：
设x₁，x₂∈（-1，0），且x₁＜x₂，则：-x₁，-x₂∈（0，1），且-x₁＞-x₂；
∵f（x）在（0，1）上单调递增；
∴f（-x₁）＞f（-x₂）；
f（x）为奇函数；
∴-f（x₁）＞-f（x₂）；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，0）上单调递增；
（3）设x∈（-1，0），-x∈（0，1）；
∴f（-x）=x²+2x=-f（x）；
∴f（x）=-x²-2x；
又f（0）=0；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}-2x}&{x∈（-1，0）}\\{{x}^{2}-2x}&{x∈[0，1）}\end{array}\right.$．

点评 考查奇函数图象的对称性，函数最大、最小值的概念，奇函数在对称区间上的单调性特点，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，对于奇函数，已知一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法和过程．