Question

如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求

出；若不存在，说明理由．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取中点，连结，．因为，所以．                         

因为四边形为直角梯形，，，

所以四边形为正方形，所以．

所以平面．    所以 ．……4分      

解：（Ⅱ）因为平面平面，且 ，

所以平面，所以． 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以． 所以 ，平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为，所以 ， 即直线与平面所成角的正弦值为．…8分      

（Ⅲ）存在点，且时，有// 平面． 证明如下：由 ，，所以．

设平面的法向量为，则有所以   取，得．因为 ，且平面，所以 // 平面． 即点满足时，有// 平面．…………12分