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已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3).

(1)若点P(m,m+1)在圆C上,求PQ的斜率;

(2)若点M是圆C上任一点,则|MQ|的最大值、最小值分别是多少?

(3)若N(a,b)满足关系:a2+b2-4a-14b+45=0,求的最大值.

答案:
解析:

  解:(1)由于P(m,m+1)在圆C上,所以有m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解之,得m=4,∴P(4,5),从而kPQ

  (2)圆C的方程变为(x-2)2+(y-7)2=8.由于Q(-2,3)在圆C外部,且,如图,由平面几何知识可知|MQ|max=|QC|+r=,|MQ|min=|QC|-r=

  (3)由N(a,b)满足的条件可知,N(a,b)在圆C上.又表示N(a,b)与Q(-2,3)两点连线的斜率.由图可知,t的最大值为过Q(-2,3)的圆C的两切线之一的斜率.设切线方程为y-3=k(x+2),由圆心C(2,7)到其距离为,知k=2±.所以tmax=2+

  思路解析:(1)将P点代入圆C的方程,可得出m的值.

  (2)运用数形结合考虑,记圆心为C,则|MQ|max=|QC|+r,|MQ|min=|QC|-r.

  (3)考虑到具有几何意义,即表示圆C上的动点(a,b)与定点(-2,3)连线的斜率,故可用数形结合的方法.


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3
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2
时.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程.

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