Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A′．
①求△AOB的面积的最大值（O为坐标原点）；
②“当m变化时，直线A′B与x轴交于一个定点”．你认为此推断是否正确？若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

0+ 1 b2 =1 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得即可；
（2））①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．方程联立得到根与系数的关系，利用S_△AOB=

1

2

|OT|•|y1-y2|=

2 m2+3

4+m2

．
令t=

m2+3

，则t≥

3

且S△AOB=

2t

1+t2

=

2

t+ 1 t

，再利用t+

1

t

在[

3

，+∞)单调递增，即可得出△AOB有最小值．
②A′（x₁，-y₁）．直线A′B的方程为：y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)．令y=0，得x=

x1y2+x2y1

y1+y2

代入根与系数的关系即可得出．

解答：解：（1）由题意可得

0+ 1 b2 =1 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b=1，c=

3

．
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立

x=my+1 x2+4y2=4

，得（4+m²）y²+2my-3=0，
∴y1+y2=-

2m

4+m2

，y1y2=

-3

4+m2

．
∴S_△AOB=

1

2

|OT|•|y1-y2|=

2 m2+3

4+m2

．
令t=

m2+3

，则t≥

3

且S△AOB=

2t

1+t2

=

2

t+ 1 t

，
∵t+

1

t

在[

3

，+∞)单调递增，∴当t=

3

时，△AOB有最小值

3

2

．
②A′（x₁，-y₁）．直线A′B的方程为：y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)．
令y=0，得x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

(my1+1)y2+(my2+1)y1

y1+y2

=

2my1y2

y1+y2

+1=4为定值．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、三角形的面积公式、函数的单调性等是解题的关键．