Question

9．下列函数中，满足f（xy）=f（x）+f（y）的单调递增函数是（　　）

• A． $f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}$
• B． f（x）=2^x
• C． $f（x）={log_{\frac{1}{2}}}$x
• D． f（x）=log₂x

Answer 1

分析 对于A与B，由指数函数的性质可知，f（xy）≠f（x）+f（y），可排除；
对于C，虽然f（xy）=${log}_{\frac{1}{2}}（xy）$=${log}_{\frac{1}{2}}x$+${log}_{\frac{1}{2}}y$=f（x）+f（y），但f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$为单调减函数，可排除；
对于D，是满足f（xy）=f（x）+f（y）的单调递增函数，正确．

解答 解：对于A，f（xy）=（$\frac{1}{2}$）^xy≠（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{2}$）^y，故A错误；
对于B，f（xy）=2^xy≠（2）^x+（2）^y，故B错误；
对于C，f（xy）=${log}_{\frac{1}{2}}（xy）$=${log}_{\frac{1}{2}}x$+${log}_{\frac{1}{2}}y$=f（x）+f（y），但f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$为单调减函数，故C错误；
对于D，f（xy）=log₂（xy）=log₂x+log₂y=f（x）+f（y），f（x）=log₂x为单调增函数，满足题意，故D正确；
故选：D．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查指数函数与对数函数的运算性质与单调性质，熟练掌握它们的性质是解决问题的关键，属于中档题．