Question

13．已知钝角α满足$\sqrt{3}sinα-cosα=\frac{8}{5}$，则$tan（α-\frac{π}{6}）$=-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由两角差的正弦函数公式化简已知等式可得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，结合角的范围可求cos（α-$\frac{π}{6}$），由同角三角函数关系式即可求得tan（α-$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：∵钝角α满足$\sqrt{3}sinα-cosα=\frac{8}{5}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα-$\frac{1}{2}$cosα=$\frac{4}{5}$，即sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴α-$\frac{π}{6}$≈53°或是127°，
∵α为钝角，前面一种假设显然不成立，
∴α-$\frac{π}{6}$≈127°，
∴cos（α-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，
∴则$tan（α-\frac{π}{6}）$=$\frac{sin（α-\frac{π}{6}）}{cos（α-\frac{π}{6}）}$=-$\frac{4}{3}$．
故答案为：-$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．