Question

18．设奇函数f（x）与g（x）偶函数的定义域都为（-∞，+∞），且满足f（x）+g（x）=2^x，有下列命题：
①g（x）≥1在（-∞，+∞）恒成立；
②f（x）²-g（x）²=-1在（-∞，+∞）恒成立；
③f（x）≤g（x）在（-∞，+∞）恒成立；
④g（2x）=2f（x）g（x）在（-∞，+∞）恒成立．
则真命题是①②③（填所有真命题的序号）．

Answer 1

分析 由奇函数f（x）与g（x）偶函数的定义域都为（-∞，+∞），且满足f（x）+g（x）=2^x，可得2^-x=f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x），解得f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$．
①利用基本不等式的性质即可判断出正误；
②把f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$代入f（x）²-g（x）²化简整理即可判断出正误；
③f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$≤$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$=g（x），即可判断出正误；
④分别计算g（2x）=$\frac{{4}^{x}+{4}^{-x}}{2}$，2f（x）g（x）=$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{2}$．即可判断出正误．

解答 解：∵奇函数f（x）与g（x）偶函数的定义域都为（-∞，+∞），且满足f（x）+g（x）=2^x，
∴2^-x=f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x），解得f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$．
①∵g（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$$≥\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=1，当且仅当x=0时取等号，因此g（x）≥1在（-∞，+∞）恒成立，①正确；
②f（x）²-g（x）²=$（\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}）^{2}$-$（\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}）^{2}$=-1在（-∞，+∞）恒成立，②正确；
③f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$≤$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$=g（x），因此f（x）≤g（x）在（-∞，+∞）恒成立，③正确；
④g（2x）=$\frac{{4}^{x}+{4}^{-x}}{2}$，2f（x）g（x）=2×$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$×$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$=$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{2}$．∴g（2x）≠2f（x）g（x），④不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性、基本不等式的性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．