Question

3．在数列{a_n}中，已知a₁+a₁+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₁²+…+a_n²等于$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

Answer 1

分析 利用S_n与a_n关系，得出a_n²=4^n-1，得出数列{a_n²}是以4为公比的等比数列，利用等比数列求和公式计算即可．

解答 解：∵a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1 ①
∴a₁+a₂+…+a_n+1+a_n+1=2ⁿ⁺¹-1②，
②-①得a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2^n-1，n=1也成立．
即有a_n²=4^n-1，
数列{a_n²}是以4为公比的等比数列，
由a₁=2-1=1，得a₁²=1，
由等比数列求和公式得a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．
故答案为：$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

点评 本题考查了S_n与a_n关系的具体应用，等比数列的定义，判断，求和公式，属于中档题．