Question

11．已知函数f（x）=$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$（a∈R），且x∈R时，总有f（-x）=-f（x）成立．
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）求f（x）在[0，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程关系即可求a的值；
（2）根据函数单调性的定义判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）结合函数奇偶性和单调性的定义即可求f（x）在[0，2]上的值域．

解答 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
∴$\frac{a-{2}^{-x}}{1+{2}^{-x}}$=-$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，
即 $\frac{a•{2}^{x}-1}{1+{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}-a}{1+{2}^{x}}$，
∴a=1，
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$．
（2）函数f（x）为 R 上的减函数，
∵f（x）的定义域为 R，
∴任取x ₁，x ₂∈R，且x ₂＞x ₁，
∴f（x ₂）-f（x ₁）=$\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{1+{2}^{{x}_{2}}}$$-\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{1+{2}^{{x}_{1}}}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$
∵x ₂＞x ₁，∴${2}^{{x}_{2}}$$＞{2}^{{x}_{2}}$＞0．
∴f（x ₂）-f（x ₁）＜0即f（x ₂）＜f（x ₁）．
∴函数f（x）为 R 上的减函数．----（11分）
（3）由（2）知，函数f（x）在[0，2]上的为减函数，
∴f（2）≤f（x）≤f（0），
即-$\frac{3}{5}$≤f（x）≤0，
即函数的值域为[-$\frac{3}{5}$，0]----------（14分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性和值域的求解，利用定义法是解决本题的关键．