Question

2．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁，S₃，S₂成等差数列．
（Ⅰ）若a₁=1，求等比数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₃-a₂=3，求等比数列{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，分别由条件可得公比和首项，分别代入通项公式和求和公式可得．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
（Ⅰ）当a₁=1时，由S₁，S₃，S₂成等差数列可得2S₃=S₁+S₂，
∴2（1+q+q²）=1+1+q，解得q=-$\frac{1}{2}$
∴等比数列{a_n}的通项公式为a_n=$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（Ⅱ）由S₁，S₃，S₂成等差数列可得2S₃=S₁+S₂，
∴2（a₁+a₂+a₃）=a₁+a₁+a₂，
∵a₃-a₂=3，∴a₃=a₂+3，
∴2（a₁+a₂+a₂+3）=a₁+a₁+a₂，
化简可得a₂=-2，∴a₃=a₂+3=1，
∴公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$-\frac{1}{2}$，∴a₁=4，
∴等比数列{a_n}前n项和S_n=$\frac{4×[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{8}{3}$[1-$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$]

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．