Question

15．设函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx．
（1）求$f（{\frac{π}{8}}）$的值；
（2）求函数f（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），代入x=$\frac{π}{8}$即可得解．
（2）由x的范围，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，由正弦函数的性质即可得解．

解答 解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
故f（$\frac{π}{8}$）=1+$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{2}$=1+$\sqrt{2}$…5分
（2）∵x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$时，f（x）取得最大值为1+$\sqrt{2}$，
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值为0，
于是可得函数f（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域是：[0，1+$\sqrt{2}$]…10分

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．