Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，t为实数．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=t$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），当t为何值时，A，B，C三点共线；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，实数x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，求|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$，由此得到关于λ，t的方程解之；
（Ⅱ）求出$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的数量积，然后将所求平方，转化为$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的模和数量积的运算，集合二次函数求最值．

解答 解：（Ⅰ）A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$，
即$\frac{1}{3}（\overrightarrow a+\overrightarrow b）=λ\overrightarrow a+（1-λ）t\overrightarrow b$，则$λ=\frac{1}{3}，\;\;t=\frac{1}{2}$…（4分）
（Ⅱ）由$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|•cos{120°}=-\frac{1}{2}$，则$|\overrightarrow a-x\overrightarrow b{|^2}={\overrightarrow a^2}+{x^2}•{\overrightarrow b^2}-2x\overrightarrow a•\overrightarrow b={x^2}+x+1$，
因为$x∈[-1，\frac{1}{2}]$，当$x=-\frac{1}{2}$时，$|\overrightarrow a-x\overrightarrow b|$的最小值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（5分）
当$x=\frac{1}{2}$时，$|\overrightarrow a-x\overrightarrow b|$的最大值为$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$…（6分）
所以$|\overrightarrow a-x\overrightarrow b|$的取值范围是$[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{7}}}{2}]$…（8分）

点评 本题考查了平面向量共线以及数量积公式的运用．