Question

17．设函数f（x）=2e^x（x+1）（其中e=2.71828…）．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）若g（x）=x²+4x+2，判断函数F（x）=2f（x）-g（x）+2零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和求导公式、法则求出f′（x），求出导数f′（x）大于零和小于零的x范围，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出函数的单调区间，根据t＞-3判断出t+1的范围，再对t进行分类讨论，分别判断出函数的单调性，并求出对应的函数的最小值；
（Ⅲ）由题意求出F（x），由求导公式、法则求出F′（x），求出导数F′（x）大于零和小于零的x范围，即可求出函数的单调区间，并求出函数的极值，根据端点处函数值的符号和函数的单调性，判断出函数F（x）零点个数．

解答 解：（Ⅰ） f′（x）=2e^x（x+1）+2e^x=2e^x（x+2），…（1分）
由f′（x）＞0得x＞-2，由f'（x）＜0得x＜-2，
∴f（x）在（-2，+∞）单调递增，在（-∞，-2）单调递减．…（3分）
∴f（x）极小值=f（-2）=-2e^-2，不存在极大值．…（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f（x）在（-2，+∞）单调递增，在（-∞，-2）单调递减．
∵t＞-3，∴t+1＞-2
①当-3＜t＜-2时，f（x）在[t，-2]单调递减，[-2，t+1]单调递增，
∴$f{（x）_{min}}=f（-2）=-2{e^{-2}}$．…（6分）
②当t≥-2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，
∴$f{（x）_{min}}=f（t）=2{e^t}（t+1）$；    …（8分）
综上可得，当-3＜t＜-2时，$f{（x）}_{min}=-2{e}^{-2}$，
当t≥-2时，$f{（x）}_{min}=2{e}^{t}（t+1）$…（9分）
（Ⅲ）由题意得F（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，
∴F′（x）=4e^x（x+1）+4e^x-2x-4=2（x+2）（2e^x-1），…（10分）
由F′（x）＞0得：x＞-ln2或x＜-2，由F′（x）＜0得：-2＜x＜-ln2，
所以F（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上单调递增，在（-2，-ln2）上单调递减…（12分）
∴$F{（x）_{极小值}}=F（-ln2）=2+2ln2-（ln2{）^2}=2+ln2（2-ln2）＞0$
当x→-∞时，F（x）＜0，
故函数F（x）=2f（x）-g（x）+2只有一个零点．…（14分）

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、求闭区间上函数的最值，利用函数的导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题．