Question

12．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，若对任意x＞0有f（x）＞ax²-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 利用分离常数法，求出a的不等式，构造函数g（x），求出g（x）的取值范围即得a的取值范围．

解答 解：当x∈（0，+∞）时，f（x）＞ax²-1恒成立，
∴x+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞ax²-1，
即a＜$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设g（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，其中x＞0，
∴g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{x+2}{{x}^{3}{e}^{x}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$＜0在x＞0恒成立，
g（x）在（0，+∞）上是单调减函数；
∴g（x）＞0，即a≤0；
∴实数a的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性，不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，是综合性题目．