Question

19．已知f（x）=log₂$\frac{x+1}{x-1}$（其中x＞1），g（x）=x²-2ax+a²+b（其中x∈R，a＞0，b＞1），则下列判断正确的是（　　）

• A． f（g（a-1））＞f（g（a））
• B． f（g（$\frac{2a}{3}$））＞f（g（$\frac{5a}{3}$））
• C． g（f（$\frac{{4}^{n}+1}{{4}^{n}-1}$））＞g（f（3））（其中a≠0且a$≠\frac{1}{2}$）
• D． g（f（$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}-1}$））＞g（f（3））（其中a≠0，且a≠1）

Answer 1

分析 根据复合函数的单调性，先求出函数f（x）与g（x）的单调区间，再分别利用函数的单调性进行判断即可．

解答 解：∵f（x）=log₂$\frac{x+1}{x-1}$=log₂（1+$\frac{2}{x-1}$），
设t=1+$\frac{2}{x-1}$，
则t在（1，+∞）上单调递减，
∴y=f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∵g（x）=x²-2ax+a²+b=（x-a）²+b，
∴g（x）=（x-a）²+b，在（-∞，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，
对于A，∵g（a-1）-g（a）=1＞0，且g（a）＞1，∴g（a-1）＞g（a）＞1，
∵y=f（x）在（1，+∞）单调递减，
∴f（g（a-1））＜f（g（a），故A不正确
对于B．∵g（$\frac{2a}{3}$）＜g（$\frac{5a}{3}$），且g（$\frac{2a}{3}$）＞1，
∴f（g（$\frac{2a}{3}$））＞f（g（$\frac{5a}{3}$）），故B正确
对于C，$\frac{{4}^{n}+1}{{4}^{n}-1}$=1+$\frac{2}{{4}^{n}-1}$，则1＜$\frac{{4}^{n}+1}{{4}^{n}-1}$≤2，
∴f（$\frac{{4}^{n}+1}{{4}^{n}-1}$）＞f（3），
∵f（3）=1，f（$\frac{{4}^{n}+1}{{4}^{n}-1}$）＞1，
∴无法比较g（f（$\frac{{4}^{n}+1}{{4}^{n}-1}$））与g（f（3））的大小，
对于D，$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}-1}$=1+$\frac{2}{{2}^{n}-1}$，则1＜$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}-1}$≤3，
∴f（$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}-1}$）≥（f（3）），
∵f（3）=1，f（$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}-1}$）≥1
∴无法比较g（f（$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}-1}$））＞g（f（3））（其中a≠0，且a≠1）的大小，
故选：B．

点评 本题考查了利用函数的单调性比较大小，关键是求出函数f（x）与g（x）的单调区间，属于中档题．