Question

7．已知椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{9}$=1的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=θ
（1）求椭圆的长轴长，短轴长，顶点，离心率．
（2）求证：$S_{△{F_1}P{F_2}}$=9tan$\frac{θ}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的标准方程可以求出椭圆的长轴长，短轴长，顶点，离心率
（2）由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，再由余弦定理可得|PF₁|²+|PF₂|²-|F₁F₂|²=2|PF₁||PF₂|cosθ，从而可得|PF₁||PF₂|=$\frac{2{b}^{2}}{1+cosθ}$，从而求△F₁PF₂的面积．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{9}$=1，可得a²=25，b²=9，c²=a²-b²=25-9=16，即a=5，b=3，c=4，
则长轴长为2a=10，短轴长2b=6，顶点分别为（5，0），（-5，0），（0，3），（0，-3），
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$
（2）由题意，|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
又∵|PF₁|²+|PF₂|²-|F₁F₂|²=2|PF₁||PF₂|cosθ，
∴（|PF₁|+|PF₂|）²-|F₁F₂|²=2|PF₁||PF₂|+2|PF₁||PF₂|cosθ，
∴4a²-4c²=2|PF₁||PF₂|（1+cosθ）=4b²=36，
∴|PF₁||PF₂|=$\frac{18}{1+coθ}$，
∴S_△F1PF2=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|•sinθ=9•$\frac{sinθ}{1+cosθ}$=9tan$\frac{θ}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的定义及余弦定理的应用，属于中档题