Question

1．已知命题P：若幂函数f（x）=x^α过点（2，8），实数a满足f（2-a）＞f（a-1）．命题Q：实数a满足2^a-1＞1．且P∧Q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 2^α=8⇒α=3，则f（x）=x³．若P真：f（2-a）＞f（a-1），利用函数f（x）的单调性可得a范围；若Q真：2^a-1＞1，利用指数函数的单调性可得a-1＞0，解得a范围．由P∧Q为真，求其交集即可．

解答 解：∵2^α=8⇒α=3，则f（x）=x³，
若P真：f（2-a）＞f（a-1），$⇒2-a＞a-1⇒a＜\frac{3}{2}$；
若Q真：2^a-1＞1，∴a-1＞0，解得a＞1．
∵P∧Q为真，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＜\frac{3}{2}}\\{a＞1}\end{array}}\right.⇒1＜a＜\frac{3}{2}$．
∴实数a的取值范围是$（1，\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查了复合命题真假的判定、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．