Question

15．已知函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$（x∈R），若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），则x₁，2-x₂大小关系是（　　）

• A． x₁＞2-x₂
• B． x₁＜2-x₂
• C． x₁=2-x₂
• D． x₁与2-x₂大小不确定

Answer 1

分析 首先利用导数研究出函数的单调性和极值，然后利用构造函数的方法进行判断．

解答 解：f′（x）=（1-x）e^-x，令f′（x）=0，得x=1，当x＜1时f′（x）＞0，当x＞1时f′（x）＜0，
所以当x＜1时函数f（x）单调递增，当x＞1时函数f（x）单调递减，
函数f（x）的极大值是f（1）=$\frac{1}{e}$．
令g（x）=f（2-x），得g（x）=（2-x）e^x-2，
令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$+（x-2）e^x-2，
于是F′（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x
当x＞1时，2x-2＞0，从而F′（x）＞0，从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数，
所以F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x），即在[1，+∞）上f（x）＞g（x）．
①若x₁＞1，x₂＞1，则x₁-1＞0，x₂-1＞0，不会有（x₁-1）（x₂-1）=0
所以x₁=x₂=1不合题意，舍去；
②若（x₁-1）（x₂-1）＞0，又因为f（x₁）=f（x₂），所以x₁=x₂=1，不合题意，舍去；
所以（x₁-1）（x₂-1）＜0，
不妨设x₁＜1＜x₂，因为f（x）＞g（x），
所以f（x₂）＞f（2-x₂），又因为f（x₁）=f（x₂），所以f（x₁）＞f（2-x₂），
因为x₂＞1，所以2-x₂＜1，由函数f（x）在区间（-∞，1）内是增函数，所以x₁＞2-x₂，
故选：A．

点评 本题重点考查导数的应用，以及构造函数的思想，进行证明不等关系．