Question

7．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并写出其通项公式；
（2）根据（1）中写出的通项公式，用三段论证明数列{a_n}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系即可求a₁，a₂，a₃，a₄的值并写出其通项公式；
（2）根据等比数列的定义结合三段论进行证明．

解答 解：（Ⅰ）由a_n=2-S_n，得a₁=1；${a_2}=\frac{1}{2}$；${a_3}=\frac{1}{4}$；${a_4}=\frac{1}{8}$，
猜想${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$（n∈N^*）．                      …（5分）
（Ⅱ）因为通项公式为a_n的数列{a_n}，若$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=p$，p是非零常数，
则{a_n}是等比数列；…大前提
因为通项公式${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，又$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$；…小前提
所以通项公式${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$的数列{a_n}是等比数列．…结论…（12分）

点评 本题主要考查等比数列的判断，以及利用三段论进行证明，考查学生的推理能力．