Question

19．已知点M（3，1），直线ax-y+4=0及圆C：（x-1）²+（y-2）²=4
（1）若直线ax-y+4=0与圆C相切，求a的值；
（2）若直线ax-y+4=0与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为2$\sqrt{3}$，求a的值；
（3）求过点M的圆C的切线方程．

Answer 1

分析 （1）根据直线和圆相切的关系即可求a的值；
（2）根据直线和圆相交，以及弦长公式即可求a的值；
（3）根据直线和圆相切的关系即可

解答 解：（1）圆心坐标C（1，2），半径R=2，
若若直线ax-y+4=0与圆C相切，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|a-2+4|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=2，
解得a=0或a=$\frac{4}{3}$…（4分）
（2）∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为d═$\frac{|a-2+4|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$
∴（$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$）²+（$\frac{2\sqrt{3}}{2}$）²=4，
解得a=-$\frac{3}{4}$…（8分）
（3）圆心C（1，2），半径为r=2
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=3，
由圆心C（1，2）到直线x=3的距离d=3-1=2=r知，
直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程y-1=k（x-3）
即kx-y+1-3k=0
由题意知$\frac{|k-2+1-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$，
即直线方程为y-1=$\frac{3}{4}$（x-3），
即3x-4y-5=0，
综上所述，过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0…（14分）

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据点到直线的距离公式以及相交弦长公式是解决本题的关键．