Question

14．已知复数w满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），$z=\frac{5}{w}+|\overline w-2|$．
（1）求z；
（2）若（1）中的z是关于x的方程x²-px+q=0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）解法一：利用复数的运算计算出w，代入z即可得出．
解法二：设w=a+bi（a、b∈R），利用复数的运算法则与复数相等解出w，即可得出．
（2）把z=3+i代入关于x的方程x²-px+q=0，利用复数相等解出p，q，即可得出．

解答 解：（1）解法一：∵w（1+2i）=4+3i，∴$w=\frac{4+3i}{1+2i}=2-i$，
∴$z=\frac{5}{2-i}+|-i|=3+i$．
解法二：设w=a+bi（a、b∈R），a+bi-4=3i-2ai+2b，
得 $\left\{{\begin{array}{l}{a-4=2b}\\{b=3-2a}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{a=2，\;}\\{b=-1}\end{array}}\right.$
∴w=2-i，
以下解法同解法一．
（2）∵z=3+i是关于x的方程x²-px+q=0的一个根，
∴（3+i）²-p（3+i）+q=0（8-3p+q）+（6-p）i=0，
∵p，q为实数，∴$\left\{\begin{array}{l}8-3p+q=0\\ 6-p=0\end{array}\right.$，
解得p=6，q=10．
解方程x²-6x+10=0得$x=\frac{{6±\sqrt{{6^2}-40}}}{2}=3±i$
∴实数p=6，q=10，方程的另一个根为x=3-i．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．