Question

6．已知圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8
（Ⅰ）试求圆C的方程；
（Ⅱ）当P在圆C上运动时，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|．求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出到直线3x+4y+15=0的距离，利用$8=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}$，求出圆的半径，即可求出圆C的方程；
（Ⅱ）设点M的坐标是（x，y），P的坐标是（x_P，y_P），确定坐标之间的关系，利用P在圆x²+y²=25上，求点M的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）已知圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8，
而圆心到直线3x+4y+15=0的距离d=3，
由弦长公式得$8=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}$，所以r=5
所以所求圆的方程为x²+y²=25；（5分）
（Ⅱ）设点M的坐标是（x，y），P的坐标是（x_P，y_P），
∵点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|，
∴x_P=x，且y_P=$\frac{5}{4}$y，∵P在圆x²+y²=25上，
∴x²+（$\frac{5}{4}$y）²=25，整理得$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，
即C的方程是$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．（5分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查代入法求圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．