Question

16．已知椭圆C的中心在原点，左焦点F₁，右焦点F₂均在x轴上，A为椭圆的右顶点，B为椭圆短轴的端点，P是椭圆上一点，且PF₁⊥x轴，PF₂∥AB，则此椭圆的离心率等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 先画出图形，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，求出P，F₂，A，B四点的坐标，从而根据PF₂∥AB即可得${k}_{P{F}_{2}}={k}_{AB}$，从而可得到b=2c，根据a²=b²+c²即可得出$a=\sqrt{5}c$，从而得到该椭圆的离心率$\frac{c}{a}$．

解答 解：如图，
设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$；
∴x=-c时，${y}^{2}=\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，∴$P（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，F₂（c，0）；
又A（a，0），B（0，b），PF₂∥AB；
∴${k}_{P{F}_{2}}={k}_{AB}$；
∴$-\frac{{b}^{2}}{2ac}=-\frac{b}{a}$；
∴b=2c；
$a=\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}=\sqrt{5}c$；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
即椭圆的离心率为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选D．

点评 考查椭圆的标准方程，根据椭圆标准方程可表示椭圆的焦点及顶点坐标，根据椭圆的方程，已知椭圆上点的横坐标能求其纵坐标，根据两点坐标求直线斜率，以及两平行直线的斜率关系，椭圆离心率的概念及计算．