Question

12．四边形ABCD中，AB=BC，AD⊥DC，AC=1，∠ACD=θ，若$\overrightarrow{D{B}}•\overrightarrow{{A}C}=\frac{1}{3}$，则cos2θ等于（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，取AC的中点O，连接OD，OB．由AB=BC，OA=OC，可得OB⊥AC．于是$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AC}$=0．又$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{DO}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}）$，代入可得$\frac{1}{3}$=$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{DC}}^{2}-{\overrightarrow{DA}}^{2}）$，设$|\overrightarrow{DC}|$=m，$|\overrightarrow{DA}|$=n．
则m²-n²=$\frac{2}{3}$．又m²+n²=AC²=1，联立解得m，n．可得cosθ．利用cos2θ=2cos²θ-1即可得出．

解答 解：如图所示，取AC的中点O，连接OD，OB．
∵AB=BC，OA=OC，
∴OB⊥AC．
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AC}$=0．
∵$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{DO}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}）$，
∴$\frac{1}{3}$=$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{AC}$=$（\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}）$$•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}）$$•（\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}）$=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{DC}}^{2}-{\overrightarrow{DA}}^{2}）$，
设$|\overrightarrow{DC}|$=m，$|\overrightarrow{DA}|$=n．
则m²-n²=$\frac{2}{3}$．
又∵AD⊥DC，∴m²+n²=AC²=1，
联立解得m=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，n=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴$cosθ=\frac{DC}{AC}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
∴cos2θ=2cos²θ-1=2×$（\frac{\sqrt{30}}{6}）^{2}$-1=$\frac{2}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、等腰三角形的性质、勾股定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．