Question

17．已知函数f（x）=x²-（a+1）x+1（a∈R）．
（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|b＜x＜2}，求a，b的值；
（3）若关于x的不等式f（x）≤0的解集是 P，集合Q={x|0≤x≤1}，若 P∩Q=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）应用一元二次不等式恒成立时判别式△≤0，求出a的取值范围；
（2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程的关系，列出方程组，求出a、b的值；
（3）问题转化为不等式f（x）＞0对x∈Q恒成立，由此求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-（a+1）x+1（a∈R），
且关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，
∴△=（a+1）²-4≤0，
解得-3≤a≤1，
∴实数a的取值范围是-3≤a≤1；
（2）∵关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|b＜x＜2}，
∴对应方程x²-（a+1）x+1=0的两个实数根为b、2，
由根与系数的关系，得$\left\{\begin{array}{l}{b•2=1}\\{b+2=a+1}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{1}{2}$；
（3）∵关于x的不等式f（x）≤0的解集是 P，
集合Q={x|0≤x≤1}，当 P∩Q=∅时，
即不等式f（x）＞0对x∈Q恒成立；
∴x∈[0，1]时，x²-（a+1）x+1＞0恒成立，
∴a+1＜x+$\frac{1}{x}$对于x∈（0，1]时恒成立；
∴a+1＜2，
即a＜1，
∴实数a的取值范围是a＜1．

点评 本题考查了二次函数与一元二次方程以及对应不等式的解法与应用问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．