Question

7．若数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别是${a_n}={（-1）^{n+2014}}a$，${b_n}=2+\frac{{{{（-1）}^{n+2015}}}}{n}$，且a_n＜b_n对任意n∈N^*恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-1，$\frac{1}{2}$）
• B． [-2，$\frac{1}{2}$）
• C． [-2，$\frac{3}{2}$）
• D． [-1，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 a_n＜b_n对任意n∈N^*恒成立，分类讨论：当n为偶数时，可得a＜2-$\frac{1}{n}$$＜2-\frac{1}{2}$，解得a范围．当n为奇数时，可得-a＜2+$\frac{1}{n}$，解得a范围，求其交集即可．

解答 解：∵a_n＜b_n对任意n∈N^*恒成立，
∴当n为偶数时，可得a＜2-$\frac{1}{n}$$＜2-\frac{1}{2}$，解得$a＜\frac{3}{2}$．
当n为奇数时，可得-a＜2+$\frac{1}{n}$，解得$a＞-（2+\frac{1}{n}）$．∴a≥-2．
∴$-2≤a＜\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．