Question

11．如图，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），以该椭圆上的异于长轴端点的点和椭圆的左，右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为8$\sqrt{2}$，以椭圆的四个顶点组成的菱形的面积为8$\sqrt{2}$，双曲线G：x²-y²=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，探求k₁与k₂的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB||CD|恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知，椭圆中：4a=8$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b$=8$\sqrt{2}$，解出即可得椭圆的方程；又顶点与焦点重合，可得m=c²=a²-b²．可得该双曲线的标准方程．
（2）设点P（x，y）（x≠±2），利用斜率计算公式可得：${k}_{1}=\frac{y}{x+2}$，k₂=$\frac{y}{x-2}$，k₁•k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$．由P在双曲线上，可得x²-y²=4，代入即可得出．
（3）设直线AB：y=k₁（x+2）（k₁≠0），与椭圆方程联立化为$（2{k}_{1}^{2}+1）{x}^{2}$+$8{k}_{1}^{2}x$+$8{k}_{1}^{2}$-8=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用弦长公式|AB|=$\sqrt{（1+{k}_{1}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}_{1}^{2}）}{2{k}_{1}^{2}+1}$，同理|CD|=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}_{2}^{2}）}{2{k}_{2}^{2}+1}$，由k₁•k₂=1，代入|AB|+|CD|=λ|AB||CD|，可得λ为常数．

解答 解：（1）由题意知，椭圆中：4a=8$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b$=8$\sqrt{2}$，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
又顶点与焦点重合，∴m=c²=a²-b²=4．
∴该双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）设点P（x，y）（x≠±2），${k}_{1}=\frac{y}{x+2}$，k₂=$\frac{y}{x-2}$，k₁•k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$．
∵P在双曲线上，∴x²-y²=4，∴y²=x²-4．
∴k₁•k₂=1．
（3）设直线AB：y=k₁（x+2）（k₁≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为$（2{k}_{1}^{2}+1）{x}^{2}$+$8{k}_{1}^{2}x$+$8{k}_{1}^{2}$-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=$\frac{-8{k}_{1}^{2}}{2{k}_{1}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{8{k}_{1}^{2}-8}{2{k}_{1}^{2}+1}$，
由弦长公式|AB|=$\sqrt{（1+{k}_{1}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}_{1}^{2}）}{2{k}_{1}^{2}+1}$，
同理|CD|=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}_{2}^{2}）}{2{k}_{2}^{2}+1}$，
由k₁•k₂=1，可得${k}_{2}=\frac{1}{{k}_{1}}$，代入上式可得：|CD|=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}_{1}^{2}）}{{k}_{1}^{2}+2}$，
由|AB|+|CD|=λ|AB||CD|，可得λ=$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∴存在常数λ=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，使得|AB|+|CD|=λ|AB||CD|恒成立．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的坐标方程及其性质、直线与椭圆双曲线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．