Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=-4x的焦点相同，且椭圆C上一点与椭圆C的左右焦点F₁，F₂构成三角形的周长为2$\sqrt{2}$+2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的重心G满足：$\overrightarrow{{F_1}G}$•$\overrightarrow{{F_2}G}$=-$\frac{5}{9}$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线的焦点，结合三角形的周长求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设出直线方程，联系直线和椭圆，利用根与系数之间的关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意得$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ 2a+2c=2\sqrt{2}+2\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a^2}=2\\{b^2}=1\end{array}\right.$
所以椭圆C的方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…．（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}-2=0\end{array}\right.⇒（1+2{k^2}）{x^2}+4kmx+2{m^2}-2=0$，
$\left\{\begin{array}{l}△＞0⇒1+2{k^2}＞m（*）\\{x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}\end{array}\right.$①，设△AOB的重心G（x，y），
由$\overrightarrow{{F_1}G}•\overrightarrow{{F_2}G}=-\frac{5}{9}$可得${x^2}+{y^2}=\frac{4}{9}$②
由重心公式可得$G（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{3}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{3}）$代入②式
整理可得${（{x_1}+{x_2}）^2}+{（{y_1}+{y_2}）^2}=4⇒{（{x_1}+{x_2}）^2}+{[k（{x_1}+{x_2}）+2m]^2}=4$③
①式带入③式并整理得${m^2}=\frac{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}{{1+4{k^2}}}$带入（*）得k≠0．
则${m^2}=\frac{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}{{1+4{k^2}}}=1+\frac{{4{k^4}}}{{1+4{k^2}}}=1+\frac{4}{{\frac{4}{k^2}+\frac{1}{k^4}}}$，
∵$k≠0∴t=\frac{1}{k^2}＞0∴{t^2}+4t＞0∴{m^2}＞1∴m∈（-∞，-1）∪（1，+∞）$…．（12分）

点评 本题主要考查椭圆的方程以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用消元法转化为一元二次方程形式是解决本题的关键．