Question

18．设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|
（Ⅰ）若a=1，求f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）记g（x）=x²-2x-3，若存在x₁，x₁∈[0，4]，使得f（x₁）=g（x₁），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1时，去绝对值得到f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-2x+1}&{x≥1}\\{{x}^{2}+2x-1}&{x＜1}\end{array}\right.$，该函数为分段函数，根据二次函数单调增区间的求法，求出每段上函数f（x）的增区间即可；
（Ⅱ）由题意便知x²+2x+3=（a-x）|x-a|①在[0，4]上有解，从而函数x²+2x+3和函数（a-x）|x-a|的图象在[0，4]上有解，从而可由方程①得到x²+2x+3=x²-2ax+a²，该方程能够解出为x=$\frac{{a}^{2}}{2a+2}$，该解必须在[0，4]上，而且可以说明a≥0，从而解$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{{a}^{2}}{2a+2}≤4}\\{a≥0}\end{array}\right.$即得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=2x²+（x-1）|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-2x+1}&{x≥1}\\{{x}^{2}+2x-1}&{x＜1}\end{array}\right.$；
∴①x≥1时，f（x）为二次函数，对称轴为$x=\frac{1}{3}$；
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增；
②x＜1时，f（x）为二次函数，对称轴为x=-1；
∴f（x）在（-∞，-1]上单调递增；
∴f（x）的单调递增区间为[-∞，-1]，[1，+∞）；
（Ⅱ）根据题意，方程2x²+（x-a）|x-a|=x²-2x-3，即x²+2x+3=（a-x）|x-a|（1）在[0，4]上有解；
即函数x²+2x+3的图象和函数（a-x）|x-a|图象在[0，4]上有交点；
可以看出函数x²+2x+3在[0，4]上的图象在x轴的上方；而x＞a时，函数（a-x）|x-a|的图象在x轴下方，x≤a时，函数（x-a）|x-a|的图象在x轴上方；
∴只有x≤a时，函数y=x²+2x+3和函数y=（a-x）|x-a|在[0，4]上有交点；
∴方程（1）变成x²+2x+3=x²-2ax+a²；
解得$x=\frac{{a}^{2}}{2+2a}$；
∴$0≤\frac{{a}^{2}}{2+2a}≤4$；
解得$4-2\sqrt{6}≤a≤4+2\sqrt{6}$；
x=a是函数x²-2ax+a²的对称轴，∴a≥0；
∴a的取值范围为$[0，4+2\sqrt{6}]$．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数单调区间的求法，以及方程的解和对应曲线交点的关系，解分式不等式，并要熟悉二次函数的图象．