Question

13．已知$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx+$\sqrt{3}$sinx，sinx-$\sqrt{3}$cosx），x∈R，则＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞的值是$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由条件求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$、|$\overrightarrow{a}$|=1、|$\overrightarrow{b}$|的值，再根据cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，求得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞的值．

解答 解：由题意可得，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）=sinx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）=1，
|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（cosx+\sqrt{3}sinx）}^{2}{+（sinx-\sqrt{3}cosx）}^{2}}$=2，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$，∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$，
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．