Question

7．直线l：y=kx+1与圆x²+y²=1相交于A，B两点，则“△OAB的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$”是“k=$\sqrt{3}$”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．

解答 解：若直线l：y=kx+1与圆O：x²+y²=1相交于A，B 两点，
则圆心到直线距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，|AB|=2$\sqrt{1-{d}^{2}}=2\sqrt{1-\frac{1}{1+{k}^{2}}}=2\sqrt{\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
若k=$\sqrt{3}$，则|AB|=$\sqrt{3}$，d=$\frac{1}{\sqrt{1+3}}=\frac{1}{2}$，则△OAB的面积为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$成立，即必要性成立．
若△OAB的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，则S=$\frac{1}{2}×\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}×2\sqrt{\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|k|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
解得k=±$\sqrt{3}$，则k=$\sqrt{3}$不成立，即充分性不成立．
故“△OAB的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$”是“k=$\sqrt{3}$”的必要不充分条件．
故选：B．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．