Question

15．为了了解高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率直方图如图所示，已知次数在[100，110）间的频数为7，次数在110以下（不含110）视为不达标，次数在[110，130）视为达标，次数在130以上视为有优秀．
（1）求此次抽样的样本总数为多少人？
（2）在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？
（3）将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15，达标成绩记为10分，不达标记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们分值和记为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）求出次数在[100，110）间的频率，即可求出样本总数；
（2）利用互斥事件、对立事件的概率公式，即可得出结论；
（3）确定在高一年级中随机抽取2名学生的成绩和的取值，求出相应的概率，即可求X的分布列和期望．

解答 解：（1）设样本总数为n，
∵由频率分布直方图可知：次数在[100，110）间的频率为0.014×10=0.14，…1分（1分）
∴0.14n=7，解得n=50人．…1分（2分）
（2）记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A．
P（C）=0.006×10+0.014×10=0.2；…1分（3分）
P（B）=0.028×10+0.022×10=0.50；…1分（4分）
P（A）=1-P（B）-P（C）=0.30．　　…1分（5分）
（3）∵在高一年级中随机抽取2名学生的成绩和X=10，15，20，25，30…1分（6分）
∴P（X=10）=0.2×0.2=0.04； 　P（X=15）=2×0.2×0.5=0.2；　P（X=20）=0.5²+2×0.2×0.3=0.37；
 P（X=25）=2×0.3×0.5=0.3；　P（X=30）=0.3²=0.09．[对一个给1分，但不超过4分]…4分（10分）

X	10	15	20	25	30
P	0.04	0.2	0.37	0.3	0.09

∵E（X）=0.04×10+0.2×15+0.37×20+0.3×25+0.09×30　　　　　　…1分（11分）
∴E（X）=21．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…1分（12分）

点评 本题考查频率直方图，考查概率知识，考查分布列和期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．