Question

10．在△ABC中，AB边上的中线CO的长为4，若动点P满足$\overrightarrow{AP}={sin^2}θ•\overrightarrow{AO}+{cos^2}θ•\overrightarrow{AC}$（θ∈R），则$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$的最小值是（　　）

• A． -9
• B． -8
• C． 4
• D． 16

Answer 1

分析 如图所示，由动点P满足$\overrightarrow{AP}={sin^2}θ•\overrightarrow{AO}+{cos^2}θ•\overrightarrow{AC}$（θ∈R），利用向量共线定理可得：点P在线段CO上．利用基本不等式的性质可得：$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PC}$≥-2$（\frac{|\overrightarrow{PC}|+|\overrightarrow{PO}|}{2}）^{2}$．

解答 解：如图所示，
∵动点P满足$\overrightarrow{AP}={sin^2}θ•\overrightarrow{AO}+{cos^2}θ•\overrightarrow{AC}$（θ∈R），
sin²θ+cos²θ=1，sin²θ，cos²θ∈[0，1]．
∴点P在线段CO上．
∴$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PC}$≥-2$（\frac{|\overrightarrow{PC}|+|\overrightarrow{PO}|}{2}）^{2}$=-2×2²=-8，
当且仅当$\overrightarrow{PC}=-\overrightarrow{PO}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．