Question

20．已知椭圆C₁的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的顶点，直线x+$\sqrt{2}$y=0与椭圆C₁交于A，B两点，且点A的坐标为（-$\sqrt{2}$，1），点P是椭圆C₁上异于点A，B的任意一点，点Q满足$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=0，且A，B，Q三点不共线．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）证明：点Q在曲线2x²+y²=5上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出双曲线的顶点，可得椭圆的c=$\sqrt{2}$，由椭圆定义，可得a=2，进而得到b，则椭圆方程即可得到；
（Ⅱ）设点Q（x，y），点P（x₁，y₁），由对称可得B，由向量的数量积的坐标表示，可得方程，结合P在椭圆上，化简整理，讨论P与A，B重合，即可得到Q满足方程2x²+y²=5．

解答 解：（Ⅰ）∵双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的顶点为F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），
∴椭圆C₁两焦点分别为F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），
设椭圆C₁方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵椭圆C₁过点A（-$\sqrt{2}$，1），
∴2a=|AF₁|+|AF₂|=4，得a=2．∴b²=a²-（-$\sqrt{2}$）²=2．
∴椭圆C₁的方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）证明：设点Q（x，y），点P（x₁，y₁），
由A及椭圆C₁关于原点对称可得B（-$\sqrt{2}$，-1），
∴$\overrightarrow{AQ}$=（x+$\sqrt{2}$，y-1），$\overrightarrow{AP}$=（x₁+$\sqrt{2}$，y₁-1），$\overrightarrow{BQ}$=（x-$\sqrt{2}$，y+1），$\overrightarrow{BP}$=（x₁-$\sqrt{2}$，y₁+1），
由 $\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{AP}$=0，得 （x+$\sqrt{2}$）（x₁+$\sqrt{2}$）+（y-1）（y₁-1）=0，
即（x+$\sqrt{2}$）（x₁+$\sqrt{2}$）=-（y-1）（y₁-1）①，
同理，由$\overrightarrow{BQ}•\overrightarrow{BP}$=0，得（x-$\sqrt{2}$）（x₁-$\sqrt{2}$）=-（y+1）（y₁+1）②，
①•②得 （x²-2）（x₁²-2）=（y²-1）（y₁²-1）．③
由于点P在椭圆C₁上，则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=1，得x₁²=4-2y₁²，
代入③式得-2（y₁²-1）（x²-2）=（y²-1）（y₁²-1）．
当y₁²-1≠0时，有2x²+y²=5，
当y₁²-1=0，则点P（-$\sqrt{2}$，-1）或P（$\sqrt{2}$，1），
此时点Q对应的坐标分别为（$\sqrt{2}$，1）或（-$\sqrt{2}$，-1），
其坐标也满足方程2x²+y²=5．
当点P与点A重合时，即点P（-$\sqrt{2}$，1），由②得 y=$\sqrt{2}$x-3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+{y}^{2}=5}\\{y=\sqrt{2}x-3}\end{array}\right.$ 得点Q的坐标为（$\sqrt{2}$，-1）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-2）．
同理，当点P与点B重合时，可得点Q的坐标为（-$\sqrt{2}$，1）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2）．
∴点Q在曲线2x²+y²=5上．

点评 本题考查椭圆、双曲线的定义和方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．