Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+a_n+1=2n+1，n∈N^*，S_n是数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和，则下列结论：①S_2n-1=（2n-1）•$\frac{1}{{a}_{n}}$；②S_2n=$\frac{1}{2}$S_n；③S_2n≥$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$S_n；④S_2n≥S_n+$\frac{1}{2}$，其中正确的是③④（填写所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 易知，a₂=2，由a_n+a_n+1=2n+1，a_n+1+a_n+2=2n+3，两式相减，得a_n+2-a_n=2，即此数列每隔一项成等差数列，可得a_n=n．
①令n=2，即可判断出正误；
②令n=1，即可判断出正误；
③作差${S_{2n}}-\frac{1}{2}{S_n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}$，利用$\frac{1}{2n-1}＞\frac{1}{2^n}$，即可判断出正误；
④作差：${S_{2n}}-{S_n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…\frac{1}{2n}$，设$f（n）=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$，判断出其单调性，即可判断出正误．

解答 解：易知，a₂=2，由a_n+a_n+1=2n+1，a_n+1+a_n+2=2n+3，
两式相减，得a_n+2-a_n=2，
即此数列每隔一项成等差数列，由a₁=1，可得数列1的奇数项为1，3，5，…，
由a₂=2，可得其偶数项为2，4，6，…，
故a_n=n．
①令n=2，${S_{2n-1}}={S_3}=\frac{11}{6}$，$（{2n-1}）•\frac{1}{a_n}=\frac{3}{2}$，${S_{2n-1}}≠（{2n-1}）•\frac{1}{a_n}$，①错；
②令n=1，${S_{2n}}={S_2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2}{S_1}=\frac{1}{2}$，${S_{2n}}≠\frac{1}{2}{S_n}$，②错；
③∵${S_{2n}}-\frac{1}{2}{S_n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}$，又2ⁿ＞2n-1，∴$\frac{1}{2n-1}＞\frac{1}{2^n}$，
∴$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}≥1+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^n}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2^n}$，故③正确；
④∵${S_{2n}}-{S_n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…\frac{1}{2n}$，设$f（n）=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$，
∵$f（{n+1}）-f（n）=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}＞0$，
∴f（n+1）＞f（n），∴f（n）单增，∴$f（n）≥f（1）=\frac{1}{2}$，∴${S_{2n}}-{S_n}≥\frac{1}{2}$，
∴${S_{2n}}≥{S_n}+\frac{1}{2}$（n∈N^*），故④正确．
综上可得：只有③④正确．
故答案为：③④．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了“作差法”、推理能力与计算能力，属于中档题．