Question

9．如图，已知PA与半圆O切于点A，PO交半圆O于点B、C，AD⊥PO于点D．
（Ⅰ）求证AB平分∠PAD；
（Ⅱ）求证$\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用BC为半圆O的直径，AD⊥BC，PA与半圆O切于点A，证明∠PAB=∠BAD，即可证明AB平分∠PAD；
（Ⅱ）证明△PAB∽△PCA，$\frac{PB}{BD}$=$\frac{PC}{CD}$，即可证明$\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}$．

解答 证明：（Ⅰ）由题意，BC为半圆O的直径，A为半圆O上一点，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠ACD，
∵PA与半圆O切于点A，
∴∠PAB=∠ACD，
∴∠PAB=∠BAD，
∴AB平分∠PAD；
（Ⅱ）连接AC，
∵∠PAB=∠PCA，∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{AC}$．
在Rt△BAC中，AD⊥CD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{AD}{CD}$，$\frac{PB}{PA}$=$\frac{BD}{AD}$，
∴$\frac{PC}{DC}=\frac{PA}{AD}$，$\frac{PB}{BD}$=$\frac{PA}{AD}$，
∴$\frac{PB}{BD}$=$\frac{PC}{CD}$，
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．