Question

19．若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象与直线y=x无交点，现有下列结论：
①若a=1，b=2，则c＞$\frac{1}{4}$
②若a+b+c=0，则不等式f（x）＞x对一切实数x都成立
③函数g（x）=ax²-bx+c的图象与直线y=-x也一定没有交点
④若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立
⑤方程f[f（x）]=x一定没有实数根
其中正确的结论是①③④⑤（写出所有正确结论的编号）

Answer 1

分析 （1）把a和b带入二次函数解析式与y=x联立，根据△＜0求得c的范围．
（2）根据题意知f（1）=a+b+c=0，二次函数f（x）=ax²+bx+c有一个零点（1，0），则f（1）=0＜1，可得②错误．
（3）根据已知条件求得△大于零，进而求得函数g（x）=ax²-bx+c的图象与直线y=-x联立消去y后二次方程△＜0推断出函数g（x）=ax²-bx+c的图象与直线y=-x也一定没有交点．
（4）函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，可以推断出当a＞0时，f（x）＞x，进而可知f[f（x）]=f（x）．
（5）由函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，推断出f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．进而推断出f[f（x）]=x没有实数根．

解答 解：（1）f（x）=x²+2x+c，
令f（x）=x=x²+2x+c，
整理得x²-x+c=0，要使函数f（x）的图象与直线y=x无交点，
需△=1-4c＜0，即c＞$\frac{1}{4}$，故①正确．
（2）依题意知f（1）=a+b+c=0，
故二次函数f（x）=ax²+bx+c有一个零点（1，0），
∴若a+b+c=0，则不等式f（x）＞x不是对一切实数x都成立，
故②错误．
（3）联立二次函数和直线方程整理得ax²+（b-1）x+c=0，图象无交点，
∴△=（b-1）²-4ac＜0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}-bx+c=0}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
消去y得ax²+bx+c=0，△=（b-1）²-4ac＜0，
∴函数g（x）=ax²-bx+c的图象与直线y=-x也一定没有交点，
故③正确．
（4）因为函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，所以当a＞0时，f（x）＞x
∴f[f（x）]=f（x），
∴f[f（x）]=f（x）＞x恒成立．故④结论正确．
（5）因为函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．
因为f[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x没有实数根；
故⑤结论正确．
故答案为：①③④⑤．

点评 本题主要考查了二次函数的性质．利用好二次函数的图象，运用数形结合的思想是解决问题的关键．