Question

14．设数列{a_n}满足a_n+1+a_n-1≤2a_n（n∈N^*，n≥2），则称数列{a_n}为凸数列，已知等差数列{b_n}的公差为lnd，首项b₁=2，且数列{$\frac{{b}_{n}}{n}$}为凸数列，则d的取值范围是（　　）

• A． （0，e²]
• B． [e²，+∞）
• C． （2，e²]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 求出b_n=2+（n-1）lnd，利用数列{$\frac{{b}_{n}}{n}$}为凸数列，结合新定义，化简整理即可求出d的取值范围．

解答 解：∵等差数列{b_n}的公差为lnd，b₁=2，
∴b_n=2+（n-1）lnd，
即有$\frac{{b}_{n}}{n}$=$\frac{2-lnd}{n}$+lnd，
∵数列{$\frac{{b}_{n}}{n}$}为凸数列，
∴$\frac{2-lnd}{n+1}$+lnd+$\frac{2-lnd}{n-1}$+lnd≤2（$\frac{2-lnd}{n}$+lnd），
∴（2-lnd）（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{2}{n}$）≤0，
即为2（2-lnd）•$\frac{1}{n（n-1）（n+1）}$≤0，
由n≥2可得2-lnd≤0，
解得d≥e²，
故选B．

点评 本题考查等差数列的通项，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．