Question

14．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知A=60°，a=6，现有以下判断：
①若b=$\sqrt{3}$，则B有两解；
②若$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}$=12，则△ABC的面积为6$\sqrt{3}$；
③b+c不可能等于13；
④$（{\overrightarrow{{A}{B}}+\overrightarrow{{A}C}}）•\overrightarrow{{B}C}$的最大值为24$\sqrt{3}$．
请将所有正确的判断序号填在横线上②③④．

Answer 1

分析 ①若b=$\sqrt{3}$＜a=6，A=60°，则B只有一解，为锐角，即可判断出正误；
②若$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}$=12，可得cbcos60°=12，解得bc，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsin6{0}^{°}$，即可判断出正误；
③利用余弦定理与基本不等式的性质可得6²=b²+c²-2bccos60°≥（b+c）²-3×$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，解出即可判断出正误；
④由正弦定理可得：b=$4\sqrt{3}sinB$，c=$4\sqrt{3}sinC$，代入化简为$（{\overrightarrow{{A}{B}}+\overrightarrow{{A}C}}）•\overrightarrow{{B}C}$=$（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）$•$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=b²-c²）=$24\sqrt{3}sin（2C+6{0}^{°}）$，即可判断出正误．

解答 解：①若b=$\sqrt{3}$＜a=6，A=60°，则B只有一解，为锐角，因此不正确；
②∵若$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}$=12，∴cbcos60°=12，解得bc=24，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsin6{0}^{°}$=6$\sqrt{3}$，正确；
③∵6²=b²+c²-2bccos60°≥（b+c）²-3×$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，解得b+c≤12，当且仅当b=c=6时取等号，∴b+c的最大值为12，因此不可能等于13，正确．
④由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=4\sqrt{3}$，∴b=$4\sqrt{3}sinB$，c=$4\sqrt{3}sinC$，$（{\overrightarrow{{A}{B}}+\overrightarrow{{A}C}}）•\overrightarrow{{B}C}$=$（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）$•$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$=b²-c²=48sin²B-48sin²C=24（1-cos2B）-24（1-cos2C）=24cos2C-24cos（240°-2C）=$24\sqrt{3}sin（2C+6{0}^{°}）$≤24$\sqrt{3}$，因此正确．
综上可得：只有②③④正确．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理解三角形、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．