Question

4．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂．
（1）若点A（0，b）与焦点F₁、F₂构成△AF₁F₂为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
（2）若椭圆E的离心率为$\frac{1}{2}$，过点P（0，1）的直线与椭圆交于B、C两点，且当点B、C关于y轴对称时，|BC|=$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到；
（2）由离心率为$\frac{1}{2}$，可得3a²=4b²，①，再由B，C关于y轴对称，可得它们的纵坐标为1，代入椭圆方程，结合条件可得a，b的方程，解方程，即可得到a²=4，b²=3，则椭圆方程可得．

解答 解：（1）△AF₁F₂为等腰直角三角形，
则|OA|=|OF₁|，即b=c，
c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，即有c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，可得a²=4c²=4（a²-b²），
即3a²=4b²，①
由B，C关于y轴对称，设B（m，n），C（-m，n），
|BC|=2|m|，又P为BC的中点，则2n=2，即n=1，
由$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1可得|m|=$\frac{a}{b}$$\sqrt{{b}^{2}-1}$，
由题意可得$\frac{2a}{b}$$\sqrt{{b}^{2}-1}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，②
由①②解得a²=4，b²=3，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的运用和方程的运用，注意点在椭圆上满足椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．