Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a+c）cosB+bcosC=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a=3，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由（2a+c）cosB+bcosC=0．利用正弦定理可得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，化简即可解出．（2）由a=3，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，可得$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×3c•sin\frac{2π}{3}$，解得c．可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-cacosB．

解答 解：（1）由（2a+c）cosB+bcosC=0．
利用正弦定理可得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
化为2sinAcosB=-sin（C+B）=-sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$，B∈（0，π）．
解得B=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵a=3，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×3c•sin\frac{2π}{3}$，解得c=2．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-cacosB=-2×3×$cos\frac{2π}{3}$=3．

点评 本题考查了正弦定理的应用、两角和差公式、三角形面积计算公式、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．