Question

4．已知命题p：对任意实数x都有x²+ax+a＞0恒成立；
命题q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；
如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先分别求得p为真命题，q为真命题时，a的范围，再根据命题p或q为真命题，p且q为假命题，可得p和q有且只有一个是真命题，从而分p真q假，p假 q真，分别求得a的范围，最后求出它们的并集即可．

解答 解：对任意实数x都有x²+ax+a＞0恒成立?△＜0?0＜a＜4
命题p：?0＜a＜4…（2分）
关于x的方程x²-x+a=0有实数根?△≥0?1-4a≥0?a≤$\frac{1}{4}$；
命题q：$?a≤\frac{1}{4}$…（4分）
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p与q一真一假．…（6分）
如果p真，q假$?\left\{\begin{array}{l}0＜a＜4\\ a＞\frac{1}{4}\end{array}\right.?\frac{1}{4}＜a＜4$；…（8分）

如果p假q真$?\left\{\begin{array}{l}a≤0或a≥4\\ a≤\frac{1}{4}\end{array}\right.?a≤0$…（10分）
所以实数a的取值范围为$（{-∞，0}]∪（{\frac{1}{4}，4}）$…（12分）

点评 本题以命题为载体，考查复合命题的真假运用，解题的关键是根据命题p或q为真命题，p且q为假命题，可得p和q有且只有一个是真命题，属于中档题．