Question

13．某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3km；从B到C，方位角是110°，距离是3km；从C到D，方位角是140°，距离是（$9+3\sqrt{3}$）km．
（Ⅰ）试在图中画全大致示意图，并求A到C的距离；
（Ⅱ）计算出从A到D的距离和方位角．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC通过余弦定理求得AC．
（Ⅱ）利用余弦定理求得AD，进而利用正弦定理求得sin∠CAD，求得∠CAD，则AD的方位角可得．

解答 解：（Ⅰ）示意图，如图所示，
连接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+（180°-110°）=120°，
又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°
由余弦定理可得
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cos120°}$=3$\sqrt{3}$    
（Ⅱ）在△ACD中，∠ACD=360°-140°-（70°+30°）=120°，CD=3$\sqrt{3}$+9．
由余弦定理得AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}-2AC•CD•cos120°}$=$\sqrt{27+（3\sqrt{3}+9）^{2}-2×3\sqrt{3}×（3\sqrt{3}+9）×（-\frac{1}{2}）}$     
=9$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\frac{9（\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$（km）．
由正弦定理得sin∠CAD=$\frac{CD•sin∠ACD}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$  
∴∠CAD=45°，于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°，
所以，从A到D的距离为$\frac{9（\sqrt{2}+\sqrt{6}）}{2}$km，方位角是125°．

点评 本题主要考查了解三角形的知识，方位角的概念和余弦定理的应用．要求学生对实际问题能准确建模．