Question

1．已知函数y=f（x）是定义域为R偶函数，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{x}^{2}}{2}，0≤x≤2}\\{\frac{x}{1-x}，x＞2}\end{array}\right.$，若函数f（x）在（t，t+2）上的值域是$（-\frac{3}{2}，0]$，则实数t的值的集合为{-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$-2}．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质求出函数f（x）的表达式，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵函数y=f（x）是定义域为R偶函数，
∴若-2≤x≤0，则0≤-x≤2，则f（-x）=$-\frac{{x}^{2}}{2}$=f（x），
即当-2≤x≤0，f（x）=$-\frac{{x}^{2}}{2}$，
若x＜-2，则-x＞2，则f（-x）=$\frac{-x}{1+x}$=f（x），
即当x＜-2，f（x）=$-\frac{x}{1+x}$，
作出函数f（x）的图象如图：
当x=0时，f（x）=0，
当x=2时，f（2）=-2，
由$-\frac{{x}^{2}}{2}$=-$\frac{3}{2}$得x²=3，x=±$\sqrt{3}$，
由$\frac{x}{1-x}$=-$\frac{3}{2}$得x=3，
由$\frac{-x}{1+x}$=-$\frac{3}{2}$得x=-3，
若函数的值域为$（-\frac{3}{2}，0]$，
则t＜0＜t+2即-2＜t＜0，
当t=-$\sqrt{3}$时，f（t）=-$\frac{3}{2}$，此时t+2=2-$\sqrt{3}$，
∵0＜2-$\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}$，
∴满足函数的值域为$（-\frac{3}{2}，0]$，
若t+2=$\sqrt{3}$时，即f（t+2）=-$\frac{3}{2}$，此时t=$\sqrt{3}$-2，
∵-$\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}$-2＜0，
∴满足函数的值域为$（-\frac{3}{2}，0]$，
综上t=-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$-2，
故答案为：{-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$-2}

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．