Question

9．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$），离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F₁的直线l与该椭圆交于M，N两点，且|${\overrightarrow{{F_2}M}$+$\overrightarrow{{F_2}N}}$|=$\frac{{2\sqrt{26}}}{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率和定点坐标，代入求出a，b，即可求椭圆的标准方程；
（2）设出直线方程，联系直线和椭圆，利用根与系数之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）由已知得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1}\\{{c^2}={a^2}+{b^2}}\end{array}}\right.$，解得a²=2，b²=1，
故所求椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（4分）
（2）由（1）得F₁（-1，0），F₂（1，0）
①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，由$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$得$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
设$M（-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），N（-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
∴$|{\overrightarrow{{F_2}M}+\overrightarrow{{F_2}N}}|=|{（{-2，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）+（{-2，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}|=|{（-4，0）}|=4$这与已知相矛盾；…（6分）
②若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（{x+1}）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{-4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，
∴所以${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}+2）=\frac{2k}{{1+2{k^2}}}$…（10分）
又∵$\overrightarrow{{F_2}M}=（{x_1}-1，{y_1}），\overrightarrow{{F_2}N}=（{x_2}-1，{y_2}）$
∴$\overrightarrow{{F_2}M}+\overrightarrow{{F_2}N}=（{x_1}+{x_2}-2，{y_1}+{y_2}）$
∴$|{\overrightarrow{{F_2}M}+\overrightarrow{{F_2}N}}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}-2）}^2}+{{（{y_1}+{y_2}）}^2}}=\sqrt{{{（{\frac{{8{k^2}+2}}{{1+2{k^2}}}}）}^2}+{{（{\frac{2k}{{1+2{k^2}}}}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{26}}}{3}$
化简得40k⁴-23k²-17=0，
解得k²=1或${k^2}=-\frac{17}{40}$（舍去），
∴k=±1，
故所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1…（12分）

点评 本题主要考查椭圆的方程以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用消元法转化为一元二次方程形式是解决本题的关键．