Question

已知M＞-3，设命题p：曲线

x2

2

+

y2

m+3

=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：当0＜x＜2时，函数f（x）=x+

1

x

＞m恒成立．
（Ⅰ） 若“p∧q”为真命题，求m的取值范围；
（Ⅱ） 若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析：先化简命题p、q，（Ⅰ）根据“p∧q”为真命题，则命题p、q皆为真命题，即可求出；
（Ⅱ）由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p与q必有一个为真，一个为假，据此即可求出．

解答：解：∵m＞-3，命题p：曲线

x2

2

+

y2

m+3

=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴m+3＞2，解得m＞-1．
∵m＞-3，命题q：当0＜x＜2时，函数f（x）=x+

1

x

＞m恒成立．∴m＞-3，m＜[f（x）]_min．
∵f′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

，∴x∈（0，1）时，f^′（x）＜0；x∈（1，2）时，f^′（x）＞0．故在x=1处取得最小值，且f（1）=2，
∴-3＜m＜2．
（Ⅰ）∵“p∧q”为真命题，∴

m＞-1 -3＜m＜2

，解得-1＜m＜2，即为m的取值范围．
（Ⅱ）∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p与q必有一个为真，一个为假．
①若p真q假，则

m＞-1 m≤-3或m≥2

，解得m≥2，即为m的取值范围．
②若p假q真，则

m≤-1 -3＜m＜2

，解得-3＜m≤-1，即为m的取值范围．

点评：熟练掌握椭圆的性质及不等式的恒成立问题的解法及“∧”“∨”命题的真假判断是解题的关键．