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    如图，在三棱柱ABC ?A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．

    (1)求证：BC1∥平面A1CD；

    (2)若四边形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA1，求证：三棱柱ABC ?A1B1C1是正三棱柱．

     

    （1）见解析（2）见解析

    【解析】(1)连接AC1，设AC1与A1C相交于点O，连接DO，则O为AC1中点，

    ∵D为AB的中点，∴DO∥BC1

    ∵BC1?平面A1CD，DO?平面A1CD

    ∴BC1∥平面A1CD；

    (2)∵等边△ABC，D为AB的中点，∴CD⊥AB

    ∵CD⊥DA1，DA1∩AB＝D，∴CD⊥平面ABB1A1

    ∵BB1?平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，

    ∵四边形BCC1B1是矩形，∴BB1⊥BC

    ∵BC∩CD＝C，∴BB1⊥平面ABC

    ∵底面△ABC是等边三角形

    ∴三棱柱ABC ?A1B1C1是正三棱柱．

     

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