Question

10．已知圆F₁：（x+2）²+y²=32，点F₂（2，0），点Q在圆F₁上运动，QF₂的垂直平分线交QF₁于点P．
（ I）求证：|PF₁|+|PF₂|为定值及动点P的轨迹M的方程；
（ II）不在x轴上的A点为M上任意一点，B与A关于原点O对称，直线BF₂交椭圆于另外一点D．求证：直线DA与直线DB的斜率的乘积为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得圆F₁的圆心和半径，运用垂直平分线的性质定理，可得|PF₁|+|PF₂|为定值R，由椭圆的定义和方程，可得所求轨迹方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），运用直线的斜率公式和点满足椭圆方程，化简整理即可得到所求定值．

解答 解：（Ⅰ）圆F₁：（x+2）²+y²=32的圆心为F₁（-2，0），半径为4$\sqrt{2}$，
|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=|QF₁|=R=$4\sqrt{2}$为定值．
且$4\sqrt{2}$＞|F₁F₂|=4，可得动点P的轨迹为椭圆，
设标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
可得$a=2\sqrt{2}$，c=2，b²=a²-c²=4，
故所求动点P的轨迹M的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则B（-x₁，-y₁），
${k_{DA}}•{k_{DB}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}•\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{{y_2}^2-{y_1}^2}}{{{x_2}^2-{x_1}^2}}$，
∵A，D都在椭圆上，∴${x_1}^2+2{y_1}^2=8，{x_2}^2+2{y_2}^2=8$，
∴${y_2}^2-{y_1}^2=4-\frac{1}{2}{x_2}^2-（4-\frac{1}{2}{x_1}^2）=-\frac{1}{2}（{x_2}^2-{x_1}^2）$，
∴${k_{DA}}•{k_{DB}}=-\frac{1}{2}$．
则直线DA与直线DB的斜率的乘积为定值，且为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查椭圆方程的运用，以及直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．