Question

1．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（I）若?x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤m成立，求实数m的最小值M
（Ⅱ）在（I）的条件下，若正数a，b满足3a+b=M，证明：$\frac{3}{b}$+$\frac{1}{a}$≥3．

Answer 1

分析 （I）由绝对值不等式的性质，求得f（x）的最小值，令m不小于最小值，即可得到所求M；
（Ⅱ）由题意可得1=$\frac{1}{4}$（3a+b），运用乘1法和基本不等式，即可得证．

解答 解：（I）函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|，
可得|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
当（2x+1）（2x-3）≤0，即-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$时，f（x）取得最小值4．
由题意可得m≥4，
即实数m的最小值M=4；
（Ⅱ）证明：正数a，b满足3a+b=4，
即1=$\frac{1}{4}$（3a+b），
$\frac{3}{b}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{3}{b}$+$\frac{1}{a}$）（3a+b）=$\frac{1}{4}$（3+3+$\frac{b}{a}$+$\frac{9a}{b}$）
≥$\frac{1}{4}$×（6+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{9a}{b}}$）=$\frac{1}{4}$×（6+2×3）=3，
当且仅当b=3a=2时，取得等号．
则$\frac{3}{b}$+$\frac{1}{a}$≥3．

点评 本题考查绝对值不等式的性质的运用：求最值，考查存在性问题的解法，以及基本不等式的运用，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．