Question

11．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosα}\\{y=1+\frac{1}{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ²（sin²θ+4cos²θ）=4．
（1）求曲线C₁与曲线C₂的普通方程；
（2）若A为曲线C₁上任意一点，B为曲线C₂上任意一点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosα}\\{y=1+\frac{1}{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），利用cos²α+sin²α=1可得普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρ²（sin²θ+4cos²θ）=4，利用y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．
（2）设B（cosβ，2sinβ），则|BC₁|=$\sqrt{co{s}^{2}β+（2sinβ-1）^{2}}$=$\sqrt{3（sinβ-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$，利用三角函数的单调性与值域、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosα}\\{y=1+\frac{1}{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
利用cos²α+sin²α=1可得：x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．圆心C（0，1）．
曲线C₂的极坐标方程为ρ²（sin²θ+4cos²θ）=4，
可得直角标准方程：y²+4x²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）设B（cosβ，2sinβ），
则|BC₁|=$\sqrt{co{s}^{2}β+（2sinβ-1）^{2}}$=$\sqrt{3（sinβ-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$，当sin$β=\frac{2}{3}$时取等号．
∴|AB|的最小值=$\frac{\sqrt{6}}{3}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数的单调性与值域、二次函数的单调性、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．